Jacobian

by

Linearizing Systems of First Order Nonlinear Differential Equations

 

math.harvard.edu/~elkie

cds.caltech.edu/~murray

一维函数 y = f(x) 在 x=a 处的一阶近似为：

f(x) \approx \frac{df}{dx}\arrowvert_{x=x_0}(x-a)

我们说这是函数 f(x) 在点 x=x_0 附近的线性化。

二元函数比如 y=f(x_1,x_2) ，有多元函数在点 (a,b) 附近的线性化：

f(x_1,x_2)\approx f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}\arrowvert_{x_1=a,x_2=b}(x_1-a) + \frac{\partial f}{\partial y}\arrowvert_{x_1=a,x_2=b}(x_2-b)

二阶非线性系统由两个二元函数构成：

\begin{cases}\dot{x}_1=f_1(x_1,x_2)\\\dot{x}_2=f_2(x_1,x_2)\end{cases}

如果要在 (a,b) 处线性化当然只能分别线性化

\begin{cases}\dot{x}_1\approx f_1(a,b)+\frac{\partial f_1}{\partial x}\arrowvert_{x_1=a,x_2=b}(x_1-a) + \frac{\partial f_1}{\partial y}\arrowvert_{x_1=a,x_2=b}(x_2-b)\\\dot{x}_2\approx f_2(a,b)+\frac{\partial f_2}{\partial x}\arrowvert_{x_1=a,x_2=b}(x_1-a) + \frac{\partial f_2}{\partial y}\arrowvert_{x_1=a,x_2=b}(x_2-b)\end{cases}

然后一般来说 (a,b) 都取工作点（平衡点），即 f_1(a,b)=f_2(a,b)=0

那么写成矩阵形式

\left[\begin{matrix}\dot{x}_1\\\dot{x}_2\end{matrix}\right]\approx\left[\begin{matrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}&\frac{\partial f_1}{\partial x_2}\\\frac{\partial f_2}{\partial x_1}&\frac{\partial f_2}{\partial x_2}\end{matrix}\right]_{\arrowvert x_1=a,x_2=b}\left[\begin{matrix}x_1-a\\x_2-b\end{matrix}\right]

中间那货2*2的就叫雅克比矩阵，嗯

作者：肖畅
链接：https://www.zhihu.com/question/62144735/answer/195145638
来源：知乎